傍轴激光及其角动量

本篇详细介绍了傍轴条件下高斯激光和拉盖尔-高斯激光的推导。介绍了拉盖尔高斯激光的轨道角动量，以及圆偏振、椭圆偏振光携带的自旋角动量。

傍轴激光及其角动量

高斯激光与高斯脉冲激光

傍轴亥姆霍兹方程

时域中高斯激光是波动方程的解，

$${\mathrm{\nabla }}^{2}U-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=0$$

令

$$U=U(\omega )e^{i\omega t}$$

得到频域中对应的亥姆霍兹方程

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathrm{\nabla }}^{2}U+k^{2}U=0\end{array}$$

其中 $k=\omega /c$.

假设激光主要沿 $z$ 轴方向传播，设解具有如下形式

$$\begin{array}{}\text{(2)}& U(r,z,\omega )=u(r,z,\omega )e^{-ikz}\end{array}$$

其中，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，将 Equation 2 代入式 Equation 1，得到

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}-2ik\frac{\partial u}{\partial z}=0$$

我们考虑沿 $z$ 方向缓变的场强，即 $|\partial u/\partial z|\ll k|u|$，亦可得 $|{\partial }^{2}u/\partial z^2|\ll k|\partial u/\partial z|$. 忽略 $u$ 对 $z$ 的二阶导，将上式简化为

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}-2ik\frac{\partial u}{\partial z}=0\end{array}$$

此为傍轴近似下的亥姆霍兹方程，也可以在柱坐标系 $(r,\theta ,z)$ 下表达为

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}-2ik\frac{\partial u}{\partial z}=0\end{array}$$

高斯激光

先考虑简单的情况，$u$ 沿 $z$ 轴具有旋转对称性，可将 Equation 4 化为

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}-2ik\frac{\partial u}{\partial z}=0\end{array}$$

假设 $u$ 具有如下高斯形式

$$\begin{array}{}\text{(6)}& u=A{e}^{-i\frac{k{r}^2}{2q(z)}}{e}^{-ip(z)}\end{array}$$

代入方程 Equation 5，得到

$$\begin{array}{}\text{(7)}& -\frac{k^2{r}^2}{q^2}(1-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}z})-2k(\frac{i}{q}-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z})=0\end{array}$$

上式对任意 $r$ 都成立，只能

$$\begin{array}{}\text{(8)}& 1-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}z}=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{i}{q}-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=0\end{array}$$

解方程 Equation 8，得

$$\begin{array}{}\text{(10)}& q(z)=z+i{z}_0\end{array}$$

这里设定了 $q(z)$ 的初始值为 $i{z}_0$，$z_0$ 为实数。利用

$$\frac{1}{q(z)}=\frac{1}{z(1+\frac{z_0^2}{z^2})}-\frac{i}{z_0(1+\frac{z^2}{z_0^2})}$$

Equation 6 中第一个 $e$ 指数可以化为

$$e^{-i\frac{k{r}^2}{2R(z)}}{e}^{-\frac{r^2}{{\sigma }^2}}$$

这里，我们定义高斯光波前的曲率半径

$$R(z)=z(1+\frac{z_0^2}{z^2})$$ 和腰斑 $$\sigma ={\sigma }_0\sqrt{1+\frac{z^2}{z_0^2}}$$ 其中，${\sigma }_0$ 是束腰 $${\sigma }_0=\sqrt{\frac{2z_0}{k}}=\sqrt{\frac{\lambda z_0}{\pi }}$$ 利用上式也反解出 $z_0$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& z_0=\frac{k{\sigma }_0^2}{2}\end{array}$$

将 Equation 10 代入 Equation 9 得到

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{iz-z_0}$$

可以解得

$$\begin{array}{rl}p(z)& =-i\ln (iz-z_0)\\ & =-i\ln \sqrt{z^2+z_0^2}+\arctan (-z/z_0)\\ & =i\ln \frac{{\sigma }_0}{z_0\sigma }-\phi (z)\end{array}$$ 这里我们定义了古伊相位

$$\phi (z)=\arctan (z/z_0)$$ 将解出的 $p(z)$ 代回式 Equation 6 就得到了高斯形式解

$$\begin{array}{}\text{(12)}& U(r,z,\omega )=A\frac{{\sigma }_0}{\sigma }{e}^{-\frac{r^2}{{\sigma }^2}}{e}^{-i\frac{k{r}^2}{2R(z)}}{e}^{i\phi (z)}{e}^{-ikz}\end{array}$$ 注意上式已经乘上了 $e^{-ikz}$.

高斯脉冲激光

上一小节推导了频域上傍轴亥姆霍兹方程的高斯形式解。对于单色光，要得到时域上的解，只需在 Equation 12 后乘以 $e^{i\omega t}$ 即可。如若考虑色散，则需对 Equation 12 作傅里叶逆变换。

考虑共焦腔中的高斯激光，束腰和波数有依赖关系

$${\sigma }_0=\sqrt{L/k}$$ 其中 $L$ 是共焦腔的长度，这时 $z_0=L/2$ 是一个与激光频率无关的常量，从而 $q(z),\phi (z)$ 和 ${\sigma }_0/\sigma$ 与频率无关。根据真空电磁波的色散关系 $k=\omega /c$，重写 Equation 12 得

$$\begin{array}{}\text{(13)}& U(r,z,\omega )=A(\omega )\frac{{\sigma }_0}{\sigma }\exp \{-i\frac{\omega }{c}[z+\frac{r^2}{2q(z)}]+i\phi (z)\}\end{array}$$

对其作傅里叶逆变换

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int A(\omega )\frac{{\sigma }_0}{\sigma }\exp \{-i\frac{\omega }{c}[z+\frac{r^2}{2q(z)}]+i\phi (z)\}{e}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \\ =& \frac{{\sigma }_0}{\sigma }{e}^{i\phi (z)}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int A(\omega )e^{i\omega \tau }\mathrm{d}\omega \\ =& \frac{{\sigma }_0}{\sigma }{e}^{i[{\omega }_0\tau +\phi (z)]}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int A(\omega -{\omega }_0)e^{i(\omega -{\omega }_0)\tau }\mathrm{d}(\omega -{\omega }_0)\end{array}$$ 其中，第一个等号定义了复数形式的时间

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \tau =t-[z+\frac{r^2}{2q(z)}]/c=t-[z+\frac{r^2}{2R(z)}]/c+i\frac{r^2}{{\omega }_0{\sigma }^2(z)}\end{array}$$

${\omega }_0$ 是中心频率。于是，我们得到了高斯激光在时域中的表达式

$$\begin{array}{}\text{(15)}& U(r,z,t)=\frac{{\sigma }_0}{\sigma (z)}A(\tau )e^{i[{\omega }_0\tau +\phi (z)]}\end{array}$$ 其中 $A(\tau )$ 是 $A(\omega -{\omega }_0)$ 的傅里叶逆变换。

考虑一个高斯脉冲信号

$$\begin{array}{}\text{(16)}& C(t)=C_0\exp (-\frac{t^2}{2t_0^2})e^{i{\omega }_{0}t}\end{array}$$

对其作傅里叶变换，得到

$$C(\omega -{\omega }_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int C_0\exp (-\frac{t^2}{2t_0^2})e^{i{\omega }_{0}t}{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}\omega =C_0{t}_0\exp [-\frac{(\omega -{\omega }_0{)}^2}{2(1/t_0{)}^2}]$$

替换 Equation 13 中的 $A(\omega )$ 可以得到频域中的场强分布。再对频域中的场强作傅里叶逆变换，即可得到时域中场强分布

$$\begin{array}{rl}U(r,z,t)& =\frac{{\sigma }_0}{\sigma }{e}^{i[{\omega }_0\tau +\phi (z)]}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int C(\omega -{\omega }_0)e^{i(\omega -{\omega }_0)\tau }\mathrm{d}(\omega -{\omega }_0)\\ & =C_0\frac{{\sigma }_0}{\sigma (z)}\exp (-\frac{{\tau }^2}{2t_0^2})e^{i[{\omega }_0\tau +\phi (z)]}\end{array}$$ 其中 $\tau$ 由 Equation 14 定义。 把 $\tau$ 的表达式代入，得

$$\begin{array}{rl}U(r,z,t)=& A_0\frac{{\sigma }_0}{\sigma (z)}\exp [-{(t-\frac{r^2}{2cR(z)}-\frac{z}{c})}^2/2t_0^2]\\ & \times \exp [-\frac{r^2}{{\sigma }^2(z)}+\frac{r^4}{2{\sigma }^4(z)}{\left(\frac{{\delta }_0}{{\omega }_0}\right)}^2]\\ & \times \exp \{i{\omega }_0[1-\frac{r^2}{{\sigma }^2(z)}{\left(\frac{{\delta }_0}{{\omega }_0}\right)}^2][t-\frac{r^2}{2cR(z)}-\frac{z}{c}]+i\phi (z)\}\end{array}$$ 其中 ${\delta }_0=1/t_0$.考察束腰处的场强，令 $z=0$，则 $R(z)=\mathrm{\infty },\sigma (z)={\sigma }_0,\tau =t+i{r}^2/{\omega }_0{\sigma }_0^2,\phi (z)=0$，得到

$$U(r,t)=C_0\exp (-\frac{t^2}{2t_0^2})\exp [-\frac{r^2}{{\sigma }_0^2}+\frac{r^4}{2{\sigma }_0^4}{\left(\frac{{\delta }_0}{{\omega }_0}\right)}^2]\exp \left\{i{\omega }_0[1-\frac{r^2}{{\sigma }_0^2}{\left(\frac{{\delta }_0}{{\omega }_0}\right)}^2]t\right\}$$

拉盖尔-高斯 (LG) 激光的推导及其角动量

LG 激光的表达式

下面在柱坐标系下求解式 Equation 4

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}-2ik\frac{\partial u}{\partial z}=0$$

令

$$u=f(r,z)\mathrm{\Theta }(\theta )$$

分离变量后得到

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \frac{r^2}{f}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{r}{f}\frac{\partial f}{\partial r}-2ik\frac{r^2}{f}\frac{\partial f}{\partial z}={\ell }^2\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\mathrm{\Theta }}^{\prime \prime }+{\ell }^2\mathrm{\Theta }=0\end{array}$$

方程 Equation 18 有解

$$\mathrm{\Theta }(\theta )=e^{-i\ell \theta }$$

由周期性边界条件可知，$\ell$ 只能取整数。 设

$$\begin{array}{}\text{(19)}& f(r,z)=Ag(r,z)e^{-i\frac{k{r}^2}{2q(z)}}{e}^{-ip(z)}\end{array}$$ 其中 $e^{-i\frac{k{r}^2}{2q(z)}}{e}^{-ip(z)}$ 是高斯激光的解。将 Equation 19 代入方程 Equation 17，得到

$$-\frac{k^2{r}^2}{q^2}(1-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}z})-2k(\frac{i}{q}-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z})+\frac{1}{g}[\frac{{\partial }^{2}g}{\partial r^2}+(\frac{1}{r}-\frac{2ikr}{q})\frac{\partial g}{\partial r}-2ik\frac{\partial g}{\partial z}]=\frac{{\ell }^2}{r^2}$$

由方程 Equation 7 可知上式前两项之和为0. 方程变为

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \frac{1}{g}[\frac{{\partial }^{2}g}{\partial r^2}+(\frac{1}{r}-\frac{2ikr}{q})\frac{\partial g}{\partial r}-2ik\frac{\partial g}{\partial z}]=\frac{{\ell }^2}{r^2}\end{array}$$

定义变量$\xi$

$$\xi =\frac{2r^2}{\sigma (z{)}^2}=\frac{2r^2}{{\sigma }_0^2(1+\frac{z^2}{z_0^2})}$$

令

$$g(r,z)=h(\xi ,z)$$ 则有

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial g}{\partial r}=\frac{\partial h}{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial r}=\frac{4r}{{\sigma }^2}\frac{\partial h}{\partial \xi }\\ & \frac{{\partial }^{2}g}{\partial r^2}=\frac{4}{{\sigma }^2}\frac{\partial h}{\partial \xi }+\frac{16r^2}{{\sigma }^4}\frac{{\partial }^{2}h}{\partial {\xi }^2}\\ & \frac{\partial g}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial z}+\frac{\partial h}{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial z}=\frac{{\partial }^{2}h}{\partial z^2}-\frac{4z\xi }{{\sigma }^2{z}_{0}k}\frac{\partial h}{\partial \xi }\end{array}$$

利用这些式子以及 $z_0$ 与 ${\sigma }_0$ 的关系 Equation 11 可以将 $g$ 的偏微分方程 Equation 20 改成 $h$ 的偏微分方程，化简得

$$\xi \frac{{\partial }^{2}h}{\partial {\xi }^2}+(1-\xi )\frac{\partial h}{\partial \xi }-\frac{h{\ell }^2}{4\xi }=\frac{ik{\sigma }^2}{4}\frac{\partial h}{\partial z}$$

令

$$h(\xi ,z)=\mathrm{\Xi }(\xi )Z(z)$$

分离变量得

$$\frac{\xi }{\mathrm{\Xi }}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Xi }}{\partial {\xi }^2}+\frac{(1-\xi )}{\mathrm{\Xi }}\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial \xi }-\frac{{\ell }^2}{4\xi }=\frac{ik{\sigma }^2}{4Z}\frac{\partial Z}{\partial z}=-(\frac{|\ell |}{2}+p)$$ 其中 $p$ 为常数，得到两个方程

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \frac{\xi }{\mathrm{\Xi }}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Xi }}{\partial {\xi }^2}+\frac{(1-\xi )}{\mathrm{\Xi }}\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial \xi }-\frac{|\ell {|}^2}{4\xi }+(\frac{|\ell |}{2}+p)=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \frac{ik{\sigma }^2}{4Z}\frac{\partial Z}{\partial z}+(\frac{|\ell |}{2}+p)=0\end{array}$$

进一步令 $$\mathrm{\Xi }=(\sqrt{\xi }{)}^{|\ell |}L(\xi )$$

代入方程 Equation 21，得到

$$\xi \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\xi }^2}+(|\ell |+1-\xi )\frac{\partial L}{\partial \xi }+pL=0$$ 这是广义拉盖尔方程，它的解是广义拉盖尔多项式

$$L(\xi )=L_p^{|\ell |}(\xi )$$

于是，我们解得$\mathrm{\Xi }$

$$\mathrm{\Xi }=(\sqrt{\xi }{)}^{|\ell |}{L}_p^{|\ell |}(\xi )$$

容易验证，方程 Equation 22 具有解

$$Z=e^{iN\arctan (z/z_0)}$$ 其中

$$N=|\ell |+2p$$

至此，我们得到了完整的柱坐标系傍轴亥姆霍兹方程的解

$$\begin{array}{rl}{u}_{p,\ell }(r,\theta ,z)& =A\mathrm{\Xi }(\xi )Z(z)\mathrm{\Theta }(\theta )e^{-i\frac{k{r}^2}{2q(z)}}{e}^{-ip(z)}\\ & =A(\sqrt{\xi }{)}^{|\ell |}{L}_p^{|\ell |}(\xi )e^{-i\frac{k{r}^2}{2q(z)}}{e}^{-ip(z)}{e}^{iN\arctan \left(z/z_0\right)}{e}^{-i\ell \theta }\\ & =A\frac{{\sigma }_0}{\sigma }{\left(\frac{\sqrt{2}r}{\sigma (z)}\right)}^{|\ell |}{L}_p^{|\ell |}\left(\frac{2r^2}{\sigma (z{)}^2}\right)e^{-\frac{r^2}{{\sigma }^2}}{e}^{-i\frac{k{r}^2}{2R(z)}}{e}^{i\phi (z)}{e}^{-i\ell \theta }\end{array}$$ 这里，古伊相位的定义是 $$\phi (z)=(N+1)\arctan (z/z_0)$$

激光的轨道角动量

假设一线偏振激光，其矢势为

$$\mathit{A}=\hat{\mathit{x}}u(x,y,z)e^{i\omega t-ikz}$$

对于单色光，标势可以由矢势求出 $$\varphi =\frac{i}{\omega {\mu }_0{ϵ}_0}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A}=\frac{i}{\omega {\mu }_0{ϵ}_0}\frac{\partial u}{\partial x}{e}^{i\omega t-ikz}$$

分别求出电场和磁场

$$\mathit{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}=-ik[\hat{\mathit{y}}u-\frac{i}{k}\hat{\mathit{z}}\frac{\partial u}{\partial y}]e^{i\omega t-ikz}$$

因为 $\left|\frac{\partial u}{\partial z}\right|\ll |ku|$ 而在结果中舍去了和 $\frac{\partial u}{\partial z}$ 有关的项。 $$\mathit{E}=-\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\varphi =-i\omega [\hat{\mathit{x}}u-\frac{i}{k}\hat{\mathit{z}}\frac{\partial u}{\partial x}]e^{i\omega t-ikz}$$ 其中，计算 $\mathrm{\nabla }\varphi$ 时，由于 $|\mathrm{\nabla }u|\ll |ku|$ 而舍去了和 $\mathrm{\nabla }u$ 有关的项。 由此可以计算动量密度（时间平均）

$$\begin{array}{rl}\mathcal{P}& ={ϵ}_0⟨\mathrm{\Re }(\mathit{E})\times \mathrm{\Re }(\mathit{B})⟩=\frac{{ϵ}_0}{2}({\mathit{E}}^{\ast }\times \mathit{B}+\mathit{E}\times {\mathit{B}}^{\ast })\\ & =i\omega \frac{{ϵ}_0}{2}[u^{\ast }(\hat{\mathit{x}}\frac{\partial u}{\partial x}+\hat{\mathit{y}}\frac{\partial u}{\partial y})-u(\hat{\mathit{x}}\frac{\partial u^{\ast }}{\partial x}+\hat{\mathit{y}}\frac{\partial u^{\ast }}{\partial y})]+\omega k{ϵ}_0|u{|}^2\hat{\mathit{z}}\\ & =i\omega \frac{{ϵ}_0}{2}(u^{\ast }\mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }{u}^{\ast })+\omega k{ϵ}_0|u{|}^2\hat{\mathit{z}}\end{array}$$

假设 $u$ 对 $\theta$ 的依赖关系只体显在 $\exp (-i\ell \theta )$ $$u(x,y,z)=u(r,\theta ,z)=u_0(r,z)e^{-i\ell \theta }$$ 则 $$\mathrm{\nabla }u=e^{-i\ell \theta }\mathrm{\nabla }{u}_0-\frac{i\ell }{r}\hat{\mathit{\theta }}{u}_0{e}^{-i\ell \theta }$$ 代入刚才计算的动量密度，得到 $$\mathcal{P}=i\omega \frac{{ϵ}_0}{2}(u_0^{\ast }\mathrm{\nabla }{u}_0-u_0\mathrm{\nabla }{u}_0^{\ast })+\frac{\omega {ϵ}_0\ell }{r}|u_0{|}^2\hat{\mathit{\theta }}+\omega k{ϵ}_0|u_0{|}^2\hat{\mathit{z}}$$ 利用傍轴近似 $|\partial u/\partial z|\ll k|u|$, 可以忽略 $(u_0^{\ast }\mathrm{\nabla }{u}_0-u_0\mathrm{\nabla }{u}_0^{\ast })$ 中 $\hat{\mathit{z}}$ 方向的量。可以把动量密度写为 $$\mathcal{P}=i\omega \frac{{ϵ}_0}{2}(u_0^{\ast }\frac{\partial u_0}{\partial r}-u_0\frac{\partial u_0^{\ast }}{\partial r})\hat{\mathit{r}}+\frac{\omega {ϵ}_0\ell }{r}{\left|u_0\right|}^2\hat{\mathit{\theta }}+\omega k{ϵ}_0{\left|u_0\right|}^2\hat{\mathit{z}}$$ 利用 $$\mathcal{L}=\mathit{r}\times \mathcal{P}=(r\hat{\mathit{r}}+z\hat{\mathit{z}})\times \mathcal{P}$$ 可以计算得角动量密度

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}& ={\mathcal{L}}_r(r,z)\hat{\mathit{r}}+{\mathcal{L}}_{\theta }(r,z)\hat{\mathit{\theta }}+{\mathcal{L}}_z(r,z)\hat{\mathit{z}}\\ & =-\omega {ϵ}_0\ell \frac{z}{r}{\left|u_0\right|}^2\hat{\mathit{r}}+\omega {ϵ}_0[\frac{iz}{2}(u_0^{\ast }\frac{\partial u_0}{\partial r}-u_0\frac{\partial u_0^{\ast }}{\partial r})-rk{\left|u_0\right|}^2]\hat{\mathit{\theta }}+\omega {ϵ}_0\ell {\left|u_0\right|}^2\hat{\mathit{z}}\end{array}$$

激光场的角动量是角动量密度在激光所在区域进行积分 $$\mathit{L}=\int \mathcal{L}\mathrm{d}V=\int \mathrm{d}z{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta \mathcal{L}$$ 按分量来看

$$\begin{array}{rl}\int {\mathcal{L}}_r(r,z)\hat{\mathit{r}}(\theta )\mathrm{d}\mathit{r}& =\int \mathrm{d}z{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r{\int }_0^{2\pi }\hat{\mathit{r}}(\theta )\mathrm{d}\theta {\mathcal{L}}_r(r,z)\\ & =\int \mathrm{d}z{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r\{{\int }_0^{\pi }\hat{\mathit{r}}(\theta )\mathrm{d}\theta +{\int }_{\pi }^{2\pi }\hat{\mathit{r}}(\theta )\mathrm{d}\theta \}{\mathcal{L}}_r(r,z)\\ & =\int \mathrm{d}z{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r\{{\int }_0^{\pi }\hat{\mathit{r}}(\theta )\mathrm{d}\theta +{\int }_0^{\pi }\hat{\mathit{r}}(\theta +\pi )\mathrm{d}\theta \}{\mathcal{L}}_r(r,z)\\ & =0\end{array}$$

最后一步用到了 $\hat{\mathit{r}}(\theta )=-\hat{\mathit{r}}(\theta +\pi )$. 同理，由于 $\hat{\mathit{\theta }}(\theta )=-\hat{\mathit{\theta }}(\theta +\pi )$, 角向的积分也为0. 于是 $$\mathit{L}=L_z\hat{\mathit{z}}=\hat{\mathit{z}}\omega {ϵ}_0\ell \int {\left|u_0\right|}^2\mathrm{d}V$$ 同样地，对于动量，有 $$\mathit{P}=P_z\hat{\mathit{z}}=\hat{\mathit{z}}\omega k{ϵ}_0\int {\left|u_0\right|}^2\mathrm{d}V$$

激光中单个光子的平均角动量是激光场的角动量比上光子数，即 $$l_z=\frac{\mathit{L}}{c\mathit{P}/\hslash \omega }=\frac{\omega {ϵ}_0\ell }{c\omega k{ϵ}_0/\hslash \omega }=\ell \hslash$$

因为在求解的时候假设激光是线偏振的，这样的激光没有自旋角动量，所以$l_z$计算的是光子轨道角动量。值得注意的是，推得这个结果只用到了傍轴近拟和假设 $u(r,\theta ,z)=u_0(r,z)e^{-i\ell \theta }$，没有对 $u_0$ 的具体形式作任何要求。我们可以得到结论：如果傍轴近似下，激光场对于 $\theta$的依赖只取决于 $\exp (-i\ell \theta )$, 则该激光场具有轨道角动量，且单个光子的平均轨道角动量大小为 $\ell \hslash$.

激光的自旋角动量与总角动量

上面的推导假定了 $\mathit{A}$ 的线偏振的，如果 $\mathit{A}$ 具有圆偏振，矢势设为 $$\mathit{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathit{x}}u{e}^{i\omega t-ikz}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathit{y}}u{e}^{i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}+i\omega t-ikz}$$ 其中 ${\sigma }_z=\pm 1$ 对应右旋圆偏光和左旋圆偏光，${\sigma }_z=0$ 对应线偏光。下在求动量密度 $${({\mathit{E}}^{\ast }\times \mathit{B}+\mathit{E}\times {\mathit{B}}^{\ast })}_{new}=\frac{1}{2}i\omega \frac{\partial |u{|}^2}{\partial y}\hat{\mathit{x}}(e^{i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}}-e^{-i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}})+\frac{1}{2}i\omega \frac{\partial |u{|}^2}{\partial x}\hat{\mathit{y}}(e^{-i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}}-e^{i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}})$$ 其中，脚标 $new$ 的意思是相对于线偏振的结果多出了的项，利用 $$\begin{array}{}\text{(23)}& \sin {\sigma }_z\frac{\pi }{2}={\sigma }_z\end{array}$$ 得到 $${({\mathit{E}}^{\ast }\times \mathit{B}+\mathit{E}\times {\mathit{B}}^{\ast })}_{new}=\omega {\sigma }_z(\hat{\mathit{y}}\frac{\partial }{\partial x}-\hat{\mathit{x}}\frac{\partial }{\partial y})|u{|}^2=\omega {\sigma }_z\frac{\partial |u{|}^2}{\partial r}\hat{\mathit{\theta }}$$ 上式第二个等号用到了条件 $u(r,\theta ,z)=u_0(r,z)e^{-i\ell \theta }$. 于是，我们得到圆偏振激光的动量密度

$$\begin{array}{rl}\mathcal{P}& =i\omega \frac{{ϵ}_0}{2}(u^{\ast }\mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }{u}^{\ast })+{\sigma }_z\omega \frac{{ϵ}_0}{2}\frac{\partial |u{|}^2}{\partial r}\hat{\mathit{\theta }}+\omega k{ϵ}_0|u{|}^2\hat{\mathit{z}}\\ & =i\omega \frac{{ϵ}_0}{2}(u_0^{\ast }\mathrm{\nabla }{u}_0-u_0\mathrm{\nabla }{u}_0^{\ast })+(\frac{\omega {ϵ}_0\ell }{r}{\left|u_0\right|}^2+{\sigma }_z\omega \frac{{ϵ}_0}{2}\frac{\partial {\left|u_0\right|}^2}{\partial r})\hat{\mathit{\theta }}+\omega k{ϵ}_0{\left|u_0\right|}^2\hat{\mathit{z}}\\ & =i\omega \frac{{ϵ}_0}{2}(u_0^{\ast }\frac{\partial u_0}{\partial r}-u_0\frac{\partial u_0^{\ast }}{\partial r})\hat{\mathit{r}}+(\frac{\omega {ϵ}_0\ell }{r}{\left|u_0\right|}^2+{\sigma }_z\omega \frac{{ϵ}_0}{2}\frac{\partial {\left|u_0\right|}^2}{\partial r})\hat{\mathit{\theta }}+\omega k{ϵ}_0{\left|u_0\right|}^2\hat{\mathit{z}}\end{array}$$

与线偏振的情况相同，动量密度的体积分只有 $\hat{\mathit{z}}$ 分量，角动量密度也如此，因而我们下面只关注它们的 $\hat{\mathit{z}}$ 分量。角动量密度的 $\hat{\mathit{z}}$ 分量为 $$\begin{array}{}\text{(24)}& {\mathcal{J}}_z\hat{\mathit{z}}=r\hat{\mathit{r}}\times {\mathcal{P}}_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}=(\omega {ϵ}_0\ell {\left|u_0\right|}^2+{\sigma }_z\omega \frac{{ϵ}_0}{2}r\frac{\partial {\left|u_0\right|}^2}{\partial r})\hat{\mathit{z}}\end{array}$$

其中第一项即 ${\mathcal{L}}_z$, 是激光的轨道角动量，第二项是由于光的圆偏振而导致的角动量，可认为它是光的自旋角动量。

考虑到 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r\frac{1}{2}r\frac{\partial {\left|u_0\right|}^2}{\partial r}& ={\frac{1}{2}{r}^2{\left|u_0\right|}^2|}_{r=0}^{r\to \mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r{\left|u_0\right|}^2\\ & =-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r{\left|u_0\right|}^2\end{array}$$

这里用到了 $r^2|u_0{|}^2\to 0(r\to \mathrm{\infty })$, 这对LG激光是成立的。 于是，我们可以求得激光场的总角动量 $$\begin{array}{rl}\mathit{J}=J_z\hat{\mathit{z}}& =\hat{\mathit{z}}\omega {ϵ}_0\int \mathrm{d}z{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r(\ell {\left|u_0\right|}^2+\frac{{\sigma }_z}{2}r\frac{\partial {\left|u_0\right|}^2}{\partial r})\\ & =\hat{\mathit{z}}\omega {ϵ}_0\int \mathrm{d}z{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\mathrm{d}r(\ell -{\sigma }_z){\left|u_0\right|}^2\\ & =\hat{\mathit{z}}\omega {ϵ}_0(\ell -{\sigma }_z)\int {\left|u_0\right|}^2\mathrm{d}V\end{array}$$

对动量密度积分得到激光场的总动量 $$\mathit{P}=P_z\hat{\mathit{z}}=\hat{\mathit{z}}\omega k{ϵ}_0\int {\left|u_0\right|}^2\mathrm{d}V$$ 从而可以计算单个光子的平均总角动量 $$j_z=\frac{\mathit{J}}{c\mathit{P}/\hslash \omega }=\frac{\omega {ϵ}_0(\ell -{\sigma }_z)}{c\omega k{ϵ}_0/\hslash \omega }=(\ell -{\sigma }_z)\hslash$$ 如果令 ${\sigma }_z=+1$ 为左旋圆偏振光，${\sigma }_z=-1$ 为右旋圆偏振光，则¹ $$j_z=(\ell +{\sigma }_z)\hslash$$

椭圆偏振光的自旋角动量

根据上一节的推导，傍轴圆偏振光 $$\begin{array}{}\text{(25)}& \mathit{A}=(\hat{\mathit{x}}+\hat{\mathit{y}}{e}^{-i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}})e^{i\theta }\end{array}$$ 具有角动量 ${\sigma }_z\hslash$. 这里 $\theta =\omega t-kz$为简写，${\sigma }_z=1$ 为左旋圆偏光，${\sigma }_z=-1$ 为右旋圆偏光。

当 ${\sigma }_z$ 取 $[-1,1]$ 之间的非整数时，Equation 25 表示的的是椭圆偏振光。因为此时不再满足 $\sin {\sigma }_z\frac{\pi }{2}={\sigma }_z$，激光的角动量应为 $\hslash \sin {\sigma }_z\frac{\pi }{2}$. 下面讨论椭圆偏振光如何分解成左旋和右旋圆偏振光的叠加。

假设 $$\hat{\mathit{x}}+\hat{\mathit{y}}{e}^{-i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}}=A(\hat{\mathit{x}}+\hat{\mathit{y}}{e}^{-i\frac{\pi }{2}})+B(\hat{\mathit{x}}+\hat{\mathit{y}}{e}^{i\frac{\pi }{2}})$$ 可以解得 $$\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{2}(1-e^{-i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}})\\ B=\frac{1}{2}(1+e^{i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}})\end{array}$$ 叠加的振幅是复数，这是因为按 Equation 25 定义的椭圆偏振光的长轴不在坐标上，而是与坐标轴成45度角。

假设在新坐标系下，椭圆偏振光具有形式 $$\begin{array}{}\text{(26)}& \mathit{A}=({\hat{\mathit{x}}}^{\prime }a+{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }b{e}^{-i\frac{\pi }{2}})e^{i{\theta }^{\prime }}\end{array}$$ 或写成参数方程 $$\begin{array}{}\text{(27)}& \{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=a\cos {\theta }^{\prime }\\ y^{\prime }=b\cos ({\theta }^{\prime }-\frac{\pi }{2})=b\sin {\theta }^{\prime }\end{array}\end{array}$$ 这里 $a$ 和 $b$ 代表椭圆的半长轴或半短轴。上面两式的写法已经假定了光的偏振形式为左旋椭偏光，为了具有更一般的含义，可以设定 $b$ 具有符号。$b>0$ 代表左旋椭偏光，$b<0$ 代表右旋椭偏光。

原坐标系下椭偏光参数方程为 $$\begin{array}{}\text{(28)}& \{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\cos (\theta -{\sigma }_z\frac{\pi }{2})\end{array}\end{array}$$

椭圆 Equation 28 是由椭圆 Equation 27 转过45角得到的。对椭圆 Equation 27 作转动操作，得到

$$\begin{array}{}\text{(29)}& \begin{array}{rl}& \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\cos {\theta }^{\prime }\\ b\sin {\theta }^{\prime }\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}a\cos {\theta }^{\prime }-b\sin {\theta }^{\prime }\\ a\cos {\theta }^{\prime }+b\sin {\theta }^{\prime }\end{array}\right]\\ & =\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\left[\begin{array}{c}\cos ({\theta }^{\prime }+\varphi )\\ \sin ({\theta }^{\prime }+{\varphi }^{\prime })\end{array}\right]=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin (\theta +{\varphi }^{\prime }-\varphi )\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$

其中，$\theta ={\theta }^{\prime }+\varphi$，并且 $$\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos {\varphi }^{\prime }=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin {\varphi }^{\prime }=-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

式 Equation 29 得到的椭圆应与式 Equation 28 为同一个椭圆，可以得到

$$\begin{array}{}\text{(30)}& a^2+b^2=2\end{array}$$

$$\cos {\sigma }_z\frac{\pi }{2}=\cos (\varphi -{\varphi }^{\prime })=\frac{a^2-b^2}{2}$$

$$\begin{array}{}\text{(31)}& \sin {\sigma }_z\frac{\pi }{2}=\sin (\varphi -{\varphi }^{\prime })=ab\end{array}$$ 从而求得 $$\{\begin{array}{l}{a}^2=1+\cos {\sigma }_z\frac{\pi }{2}\\ b^2=1-\cos {\sigma }_z\frac{\pi }{2}\end{array}$$

因为 $a>0$，$b$ 的符号与 $\sin {\sigma }_z\frac{\pi }{2}$ 相同，对于 ${\sigma }_z\in [-1,1]$，有 $$\begin{array}{}\text{(32)}& \{\begin{array}{l}a=\sqrt{1+\cos {\sigma }_z\frac{\pi }{2}}\\ b=\sqrt{1-\cos {\sigma }_z\frac{\pi }{2}}\cdot \mathrm{sign}\left({\sigma }_z\right)\end{array}\end{array}$$

这样，我们完成了对椭圆偏振光坐标的转换。对于 Equation 26 决定的椭偏光，将其分解成圆偏振光的叠加，可令 $$a{\hat{\mathit{x}}}^{\prime }+b{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }{e}^{-i\frac{\pi }{2}}=A({\hat{\mathit{x}}}^{\prime }+{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }{e}^{-i\frac{\pi }{2}})+B({\hat{\mathit{x}}}^{\prime }+{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }{e}^{i\frac{\pi }{2}})$$ 可以解得 $$\begin{array}{}\text{(33)}& \{\begin{array}{l}A=\frac{1}{2}(a+b)\\ B=\frac{1}{2}(a-b)\end{array}\end{array}$$ 于是，我们得到如下分解

$$\hat{\mathit{x}}+\hat{\mathit{y}}{e}^{-i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}(a+b)({\hat{\mathit{x}}}^{\prime }+{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }{e}^{-i\frac{\pi }{2}})+\frac{1}{2}(a-b)({\hat{\mathit{x}}}^{\prime }+{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }{e}^{i\frac{\pi }{2}})$$ 其中，$a,b$ 由式 Equation 32 决定。可以看到，分解的振幅为实数。

当然，我们更关注的是任意按振幅为 $A,B$ 叠加的左旋和右旋圆偏振光的角动量是多少。为此，用 Equation 33 反表示出 $a,b$，即

$$\{\begin{array}{l}a=A+B\\ b=A-B\end{array}$$ 将其代入 Equation 30 和 Equation 31 可以得到 $$A^2+B^2=1$$ 及 $$\sin {\sigma }_z\frac{\pi }{2}=A^2-B^2$$ 于是有以下结论：任意椭偏光可以分解成两个圆偏光的叠加 $\hat{\mathit{x}}+\hat{\mathit{y}}{e}^{-i{\sigma }_z\frac{\pi }{2}}=A({\hat{\mathit{x}}}^{\prime }+{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }{e}^{-i\frac{\pi }{2}})+B({\hat{\mathit{x}}}^{\prime }+{\hat{\mathit{y}}}^{\prime }{e}^{i\frac{\pi }{2}})$，其中 $A,B$ 为实数，满足归一化条件 $A^2+B^2=1$，该椭偏光具有大小为 $\hslash \sin {\sigma }_z\frac{\pi }{2}=\hslash (A^2-B^2)$ 的角动量。

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References

Allen, L., M. W. Beijersbergen, R. J. C. Spreeuw, and J. P. Woerdman. 1992. “Orbital Angular Momentum of Light and the Transformation of Laguerre-Gaussian Laser Modes.” Phys. Rev. A 45 (June): 8185–89. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.45.8185.

Footnotes

1. 若按此定义，则 Equation 24 的第二项会与文献 (Allen et al. 1992) 中式(10)差一负号。